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制御のための簡単な二次のローパスフィルタ

制御工学

二次のローパスフィルタ（LPF）の作り方です*1

カットオフ周波数を $\omega_c$ [rad/s] としたとき，次式で表されます．

$\displaystyle F(s) = \frac{{\omega_c}^2}{s^2+\sqrt{2}\omega_cs+{\omega_c}^2}$

元々は，二次遅れ系の伝達関数の標準形から来ています．

下式で $\zeta = 1/\sqrt{2}$ とすると，上式と一致します．

$\displaystyle G(s) = \frac{{\omega_n}^2}{s^2+2 \zeta \omega_ns+{\omega_n}^2}$

$\zeta = 1/\sqrt{2}$ はどこから来ているのか

$G(s)$ で， $s=j\omega$ を代入して，周波数領域で考えます．

さらに $\eta=\omega/ \omega_n$ として，固有振動数 $\omega_n$ で規格化すると

$\displaystyle G(j\omega) = \frac{1}{{\omega_n}^2 - \omega^2 +j 2\zeta \omega_n \omega} = \frac{1}{1-\eta^2+j2\zeta\eta}$

ここで， $\omega \ll \omega_n$ のとき， $\omega = \omega_n$ のとき， $\omega \gg \omega_n$ のときで大きく特性を場合分けできます*2．

このうち， $\omega = \omega_n$ のときのゲインに着目すると，

$\displaystyle |G(j\omega)| = \left| \frac{1}{1-\eta^2+j2\zeta\eta} \right|$

となるので，この分母が最小になるとき，つまり，

$\displaystyle |g_{den}(\eta)| = (1-\eta^2)^2+(2\zeta\eta)^2$

が最小になるとき，共振ピークが求まります．

そこで $\eta$ で微分すると

$\displaystyle 4 \eta(\eta^2 + 2\zeta\eta^2 -1)$

この根は

$\displaystyle \eta = 0, \pm \sqrt{1-2\zeta^2}$

なので， $\zeta$ の正の範囲での場合分けで，共振の有無が分かります．

0< $\zeta$ < $1/ \sqrt{2}$ のとき

根が $\eta = \sqrt{1-2\zeta^2}$ で共振になります．

$1/ \sqrt{2}$ < $\zeta$ のとき

実数根が $\eta = 0$ のみなので， $|G(j\omega)| = 1$ となり

共振は生じません．

一方で，二次遅れ系の伝達関数の特徴を考えると，

$\zeta$ が小さいほど，位相遅れが小さいので，

結局， $\zeta = 1/\sqrt{2}$ が，

カットオフ周波数において共振ピークを持たず，

かつ，位相遅れが最も小さい二次遅れ系の伝達関数になり，

扱いやすいローパスフィルタだと考えることができます．

【参考１】

実装も含めた，一次のフィルタについては以下．

【参考２】

N次のButterworth Filterの減衰の傾きは，N×20 dB/decadeになります

【脚注】

*1:いわゆる，Butterworth Filterです

ja.wikipedia.org

*2:詳細は，制御工学の教科書の，二次遅れ系の周波数特性の項に書いてあります．

制御工学の基礎

制御工学の基礎

作者:修一, 足立
発売日: 2016/04/20
メディア: 単行本（ソフトカバー）